(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Đường hypebol

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Đường hypebol ": http://123doc.vn/document/567151-hinh-hoc-10-chuong-iii-bai-giang-duong-hypebol.htm

(H)Ox = {A
1
, A
2
} có toạ độ là A
1
( a, 0), A
2
(a, 0) và đoạn thẳng A
1
A
2
gọi là
trụ cthực của (H) có độ dài bằng 2a.
(H) không cắt Oy, đặt B
1
(0, b); B
2
(0, b) và đoạn thẳng B
1
B
2
gọi là trục ảo của
(H) có độ dài bằng 2b.
Vậy trục thực của Hyperbol là trục đối xứng cắt Hyperbol, trục ảo là trục đối
xứng không cắt Hyperbol.
Bốn điểm A
1
, A
2
, B
1
, B
2
gọi là bốn đỉnh của Hypebol (H)
Lu ý: Hai tiêu điểm của Hypebol (H) luôn ở trên trục thực.
c. Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đờng thẳng x
= a và các đờng thẳng y = b đợc gọi là hình chữ nhật cơ sở của (H).
d. Từ M(x, y)(H)

2
2
a
x
1 |x| a





ax
ax
.
Nh vậy Hyperbol (H) là tập hợp của hai tập con không giao nhau.
Tập con của (H) chứa những điểm M(x, y) thoả mãn xa gọi là nhánh bên phải
của Hyperbol.
Tập con của (H) chứa những điểm M(x, y) thoả mãn x a gọi là nhánh bên
trái của Hyperbol.
Hai nhánh này đối xứng nhau qua trục ảo và cả hai đều nhận trục thực làm trục
đối xứng.
e. Hyperbol (H) có 2 đờng tiệm cận là: y =
a
b
x.
f. Cách dựng Hyperbol (H)
Xác định vị trí các điểm A
1
( a, 0) ;A
2
(a, 0), B
1
(0, b), B
2
(0, b) trên hệ toạ độ.
Dựng các đờng thẳng x = a và y = b cắt nhau tại P, Q, R, S.
Hình chữa nhật PQRS có kích thớc 2a, 2b gọi là hình chữ nhật cơ sở của
Hyperbol.
Kẻ hai đờng tiệm cận là hai đơng chéo của hình chữ nhật cơ sở.
Dựa trên hai đỉnh A
1
, A
2
và hai đờng tiệm cận để vẽ Hyperbol.
3.1. Hyperbol liên hợp
Định nghĩa 3. Hai Hyperbol có phơng trình:
(H
1
):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=
và (H
2
):
2
2
2
2
b
y
a
x

= 1
gọi là hai Hyperbol liên hợp.
Chú ý: Hai Hyperbol liên hợp:
- Có chung các đợng tiệm cận và hình chữ nhật
cơ sở.
- Có các tiêu điểm và đỉnh khác nhau.
Trục thực của Hyperbol này là trục ảo của Hyperbol
kia và ngợc lại.
5
y
x
O
A
1
F
1
F
2
A
2
B
2
B
1
4. Tâm sai của Hypebol
Tâm sai của Hypebol là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của
Hypebol.
Đối với Hypebol (H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=
thì e =
a
c
.
Đối với Hypebol (H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=
thì e =
b
c
.
Chú ý: Mọi Hypebol đều có tâm sai lớn hơn 1.
phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1: Xác định các thuộc tính của Hypebol (H).
Phơng pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Chuyển phơng trình ban đầu của Hypebol (H) về dạng chính tắc
(H):
2
2
2
2
b
y
a
x

= 1.
Bớc 2: Xét các khả năng:
Khả năng 1: Nếu
(H):
2
2
2
2
b
y
a
x

= 1
ta đợc:
(H) có trục thực thuộc Ox, độ dài bằng 2a
chứa hai tiêu điểm
F
1
( c, 0), F
2
(c, 0) với c
2
= a
2
+ b
2
.
(H) có trục ảo thuộc Oy với độ dài bằng 2b.
Tâm sai e =
a
c
.
Khả năng 2: Nếu
(H):
2
2
2
2
b
y
a
x

= 1
ta đợc:
(H) có trục thực thuộc Oy, độ dài bằng 2b
chứa hai tiêu điểm
F
1
(0, c), F
2
(0, c) với c
2
= a
2
+ b
2
.
(H) có trục ảo thuộc Ox với độ dài bằng 2a.
Tâm sai e =
b
c
.
Chú ý: Trong trờng hợp phơng trình của (H) có dạng:
(H):
2
2
2
2
b
)y(
a
)x(



= 1.
6
y
x
O
A
1
F
1
F
2
A
2
y
x
O
F
1
F
2
B
2
B
1
ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ
OI
với I(, ) thành hệ trục IXY
với công thức đổi trục:



=
=
yY
xX




+=
+=
Yy
Xx
ta đợc:
(H):
1
b
Y
a
X
2
2
2
2
=
từ đó chỉ ra các thuộc tính của (H) trong hệ trục IXY rồi suy ra các thuộc tính của (H)
trong hệ trục Oxy.
Ví dụ 1: Cho Hyperbol (H) có phơng trình:
(H): 9x
2
16y
2
= 144.
a. Chuyển phơng trình của (H) về dạng chính tắc. Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các
tiêu điểm, tính tâm sai, các đờng tiệm cận của (H) và xác định phơng trình tham
số của (H).
b. Viết phơng trình Hyperbol (H
1
) liên hợp của (H). Tìm các thuộc tính của (H
1
)
và xác định phơng trình tham số của (H
1
).
c. Viết phơng trình chính tắc và phơng trình tham số của Elíp (E) có tiêu điểm
trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
Giải
a. Đa phơng trình Hyperbol về dạng
(H):
9
y
16
x
22

= 1 a = 4, b = 3 và c = 5.
Từ đó:
Tâm O(0, 0).
Toạ độ các đỉnh A
1
( 4, 0), A
2
(4, 0).
Toạ độ các tiêu điểm F
1
( 5, 0), F
2
(5, 0).
Tâm sai e =
4
5
.
Phơng trình hai đờng tiệm cận là y =
4
3
x.
Phơng trình tham số của (H) có dạng:
(H):





=
=
tgt3y
tcos
4
x
, t[0, 2)\{
2

,
2
3

}.
b. Phơng trình Hyperbol (H
1
) liên hợp của (H) có dạng:
7
(H
1
):
9
y
16
x
22

= 1.
Các thuộc tính của (H
1
) và phơng trình tham số của (H
1
) bạn dọc tự làm
c. Giả sử phơng trình chính tắc của Elíp có dạng:
(E):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
, với a > b. (1)
Tiêu cự c = 5 a
2
b
2
= 5
2
(2)
P(4, 3) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H). Để Elíp (E) ngoại tiếp hình
chữ nhật cơ sở của (H)
P(4, 3)(E) 9a
2
+ 16b
2
a
2
.b
2
= 0 (3)
Từ (2), (3) suy ra a
2
= 40, b
2
= 15.
Vậy phơng trình chính tắc (E):
1
15
y
40
x
22
=+
,
và phơng trình tham số có dạng:
(E):





=
=
tcos15y
tsin102x
, t[0, 2).
Bài toán 2: Lập phơng trình của Hypebol (H).
Phơng pháp thực hiện
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng phơng trình chính tắc của Hypebol
(H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=
Từ đó cần tìm a, b (hoặc a
2
, b
2
) bằng cách thiết lập một hệ hai phơng trình với ẩn a,
b (hoặc a
2
, b
2
).
Cách 2: Sử dụng định nghĩa
Chú ý:
1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phơng trình
thích hợp. Trong trờng hợp không có gì đặc biệt, ta luôn giả sử Hypebol (H) có ph-
ơng trình:
(H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=
2. Trong nhiều trờng hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phơng pháp quỹ tích để xác
phơng trình Hypebol hoặc chứng minh tập hợp điểm là Hypebol, trong trờng hợp
này này chúng ta thờng thực hiện theo hai bớc sau:
Bớc 1: Chứng minh tập hợp điểm là Hypebol (H) bằng việc chỉ ra hai điểm cố
định A, B và M thoả mãn |MA MB| = 2a không đổi.
8
Bớc 2: Lập phơng trình chính tắc của Hypebol (H) nhận A, B làm tiêu điểm và có
độ dài trục thực bằng 2a.
Ví dụ 2: Cho ba điểm F
1
(4, 0), F
2
(4, 0) và điểm A(2, 0).
a. Lập phơng trình Hyperbol (H) đi qua A và có tiêu điểm F
1
, F
2
.
b. Tìm toạ độ điểm M trên (H) sao cho MF
2
= 2MF
1
.
Giải
a. Vì hai tiêu điểm F
1
và F
2
thuộc Ox và đối xứng qua Oy nên Hypebol (H) có dạng:
(H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=
(1)
- Tiêu cự c = 4 a
2
+ b
2
= 4
2
(2)
- Điểm A(2, 0)(H) a
2
= 4 (3)
- Từ (2), (3) suy ra a
2
= 4, b
2
= 12.
Vậy phơng trình (H):
1
12
y
4
x
22
=
.
b. Giả sử M(x
0
, y
0
)(H) sao cho MF
2
= 2MF
1
, ta có:
|MF
1
MF
2
| = 2a MF
1
= 2a
2
1
MF
= 4a
2

[( 4 x
0
)
2
+
2
0
y
] = 4.16 [(4 + x
0
)
2
+
2
0
y
] = 64 (4)
Mặt khác M(x
0
, y
0
)(H)

1
12
y
4
x
2
0
2
0
=
(5)
Giải hệ tạo bởi (4), (5), ta đợc M
1
( 3,
15
), M
2
( 3,
15
).
Ví dụ 3: Lập phơng trình chính tắc và phơng trình tham số của Hypebol (H) đi qua điểm
M(5, 4) và mỗi đờng tiệm cận tạo với trục hoành một góc 45
0
.
Giải
Xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1: Với Hyperbol (H) có phơng trình:
(H):
2
2
2
2
b
y
a
x

= 1 (1)
Điểm M(2, 3)(H) 25b
2
16a
2
= a
2
.b
2
(2)
Tiệm cận của (H) tạo với trục hoành một góc 45
0

a
b
= tg45
0
a = b (3)
Giải hệ phơng trình tạo bởi (2), (3) ta đợc a = b = 3.
Vậy phơng trình chính tắc của Hypebol (H)
(H):
9
y
9
x
22

= 1,
và khi đó phơng trình tham số của (H) có dạng:
9
(H):





=
=
tcos
3
y
tgt3x
, t[0, 2)\{
2

,
2
3

}.
Trờng hợp 2: Với Hyperbol (H) có phơng trình:
(H):
2
2
2
2
b
y
a
x

= 1 giải tơng tự.
Chú ý: Bằng cách lập luận có thể khẳng định Hypebol (H) chỉ có thể là dạng:
2
2
2
2
b
y
a
x

= 1.
Bài toán 3: Xét vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng và Hypebol.
Phơng pháp thực hiện
Bằng việc xét hệ phơng trình tạo bởi (H) và (d), khi đó số nghiệm của phơng trình
bằng số giao điểm của (d) và (H).
Ví dụ 4: Cho Hypebol (H) có phơng trình:
(H):
1
9
y
4
x
22
=
.
Gọi (d) là đờng thẳng qua O có hệ số góc k, (d') là đờng thẳng qua O và vuông góc
với (d).
a. Tìm điều kiện đối với k để (d) và (d') đều cắt (H).
b. Tính theo k diện tích hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (d), (d') và (H).
c. Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất.
Giải
a. Ta lần lợt có:
Đờng thẳng (d) qua O có hệ số góc k có dạng: y = kx.
Đờng thẳng (d') qua O và vuông góc với (d) có dạng: y =
k
1
x.
Toạ độ giao điểm A, C của (d) và (H) là nghiệm của hệ :





=
=
kxy
1
9
y
4
x
22
(9 4k
2
)x
2
= 36 (1)
Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi:
9 4k
2
> 0 |k| < 3/2 (2)
Khi đó:
10
2
A
x
=
2
k49
36
=
và
2
A
y
=
2
2
k49
k36
=
.
Toạ độ giao điểm B, D của (d') và (H) là nghiệm của hệ:







=
=
x
k
1
y
1
9
y
4
x
22
(9k
2
4)y
2
= 36 (3)
Phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt khi:
9 4k
2
> 0 |k| >
3
2
(4)
Khi đó:
2
B
x
=
4k9
k36
2
2

và
2
B
y
=
4k9
36
2

.
Kết hợp (2) và (4), ta đợc:
3
2
< |k| <
2
3







<<
<<
2
3
k
3
2
3
2
k
2
3
. (I)
b. Nhận xét:
A, C là giao điểm của (d) và (H) A, C đối xứng qua O.
B, D là giao điểm của (d) và (H) B, D đối xứng qua O.
Ngoài ra ACBD.
Vậy ABCD là hình thoi.
Ta có:
S
ABCD
= 4S

AOB
= 4.
2
1
.OA.OB = 2
2
A
2
A
yx
+
2
B
2
B
yx
+
= 2.
2
2
2
k49
k36
k49
36
=
+
=
4k9
36
4k9
k36
22
2

+

=
)4k9)(k49(
)k1(72
22
2

+
c. Hình thoi ABCD có diện tích nhỏ nhất

)4k9)(k49(
)k1(72
22
2

+
nhỏ nhất.
Ta có:
11
)4k9)(k49(
)k1(72
22
2

+

)]4k9()k49[(
2
1
)k1(72
22
2
+
+
=
5
144
.
Vậy, hình thoi ABCD có diện tích nhỏ nhất bằng
5
144
đạt đợc khi:
9 4k
2
= 9k
2
4 k = 1.
Bài toán 4: Điểm và Hypebol.
Phơng pháp thực hiện
Với Hypebol (H) có phơng trình:
(H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=
.
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Lấy điểm M(x
0
, y
0
)(H) suy ra
2
2
0
2
2
0
b
y
a
x

= 1.
Bớc 2: Dựa vào điều kiện K có thêm đợc điều kiện cho x
0
, y
0
. Từ đó suy ra toạ độ
điểm M.
Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Chuyển phơng trình Hypebol về dạng tham số:
(H):





=
=
btgty
tcos
a
x
, t[0, 2)\{
2

,
2
3

}.
Bớc 2: Điểm M(H) M(a.sint, b.cost).
Bớc 3: Dựa vào điều kiện K có thêm đợc điều kiện cho x
0
, y
0
. Từ đó suy ra toạ độ
điểm M.
Chú ý: Ta cần lu ý các trờng hợp sau:
1. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về bán kính qua tiêu điểm ta sử dụng công
thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là:
Điểm M(x, y)(H) luôn có:
a. F
1
M =
a
cx
+ a và F
2
M =
a
cx
a với x > 0.
b. F
1
M =
a
cx
a và F
2
M =
a
cx
+ a với x < 0.
2. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về góc ta đa bài toán về xét hệ thức lợng
trong tam giác.
12
3. Nếu điểm phải tìm là giao của Hypebol với một đờng khác ta xét hệ phơng trình t-
ơng giao để tìm toạ độ giao điểm.
Ví dụ 5: Cho Hyperbol (H) có phơng trình:
(H):
1
9
y
16
x
22
=
.
Tìm điểm M trên (H) sao cho:
a. Có toạ độ nguyên.
b. Nhìn hai tiêu điểm dới một góc 90
0
.
Giải
a. Ta chỉ cần tìm các cặp (x, y) nguyên không âm, khi đó các nghiệm còn lại là (x,
y), ( x, y), ( x, y). Ta có:






=
+
Zy,x
144y16x9
22






+

=+
+
y4x3y4x3
Zy,x
144)y4x3)(y4x3(




=
=
0y
4x
.
Vậy có hai điểm trên (H) có toạ độ nguyên là M
9
( 4, 0), M
10
(4, 0).
b. MF
1
MF
2
M thuộc đờng tròn (C) đờng kính F
1
F
2
= 10 có phơng trình:
(C): x
2
+ y
2
= 25.
Vậy toạ độ điểm M là nghiệm của hệ:





=+
=
1yx
1
9
y
16
x
2
0
2
0
2
0
2
0

ta đợc bốn điểm:
M
1
(
5
344
,
5
9
), M
2
(
5
344
,
5
9
), M
3
(
5
344
,
5
9
), M
4
(
5
344
,
5
9
),
B. bài tập rèn luyện
B. bài tập rèn luyện
Bài tập 1. Xét điểm M(t) có toạ độ cho bởi:





=
=
tgt3y
tcos
1
x
, t(
2

,
2

).
a. Chứng minh rằng khi t thay đổi, điểm M(t) vạch trên một nhánh của Hyperbol
(H). Xác định toạ độ tiêu điểm của Hyperbol đó.
13
b. Chứng minh điều kiện cần và đủ để đờng thẳng nối 2 điểm phân biệt M(t
1
), M(t
2
)
đi qua một tiêu điểm của (H) là tan
2
t
1
. tan
2
t
2
=
3
1
.
Bài tập 2. Lập phơng trình chính tắc và phơng trình tham số của Hypebol (H) có cùng
hình chữ nhật cơ sở với (E) có phơng trình:
(E):
4
y
9
x
22
+
= 1.
Bài tập 3. Lập phơng trình chính tắc của Hypebol, biết hai tiêu điểm F
1
(1, 1), F
2
(3,
3) và độ dài trục thực bằng 8.
Bài tập 4. Cho Elíp (E) và Hypebol (H) có phơng trình:
(E):
1
4
y
9
x
22
=+
và (H):
1
4
y
1
x
22
=
.
Lập phơng trình đờng tròn đi qua các giao điểm của hai Hyperbol.
Bài tập 5. Cho Hyperbol (H) có phơng trình:
(H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=
,
Tìm điểm M trên (H) sao cho độ dài F
1
M (tiêu điểm F
1
(c, 0)) ngắn nhất, dài nhất.
Bài tập 6. Cho Hyperbol (H) có phơng trình:
(H):
1
9
y
9
x
22
=
.
Cho A(3, 0) và ABC đều nội tiếp trong (H). Tìm toạ độ các đỉnh B, C.
Bài tập 7. Cho Hypebol (H) có phơng trình:
(H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=
.
a. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M(H) đến các tiệm cận của nó là
một hằng số, tính giá trị đó.
b. Từ điểm M(H) kẻ các đờng thẳng song song với hai tiệm cận và cắt chúng tại
P, Q. Chứng minh rằng diện tích hình bình hành OPMQ là một hằng số, tính giá
trị đó.
Bài tập 8. Cho Hyperbol (H) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(H):
1
8
y
4
x
22
=
và (d): x
2
y 2 = 0.
a. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài AB.
b. Tìm toạ độ điểm C thuộc (H) sao cho :
- ABC có diện tích bằng 5.
- ABC cân.
- ABC vuông.
Bài tập 9. Cho Hyperbol (H) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(H):
1
4
y
25
x
22
=
và (d): 2x + 15y 10 = 0.
14