Hình học xạ ảnh 36

Hãy dựng thêm một số điểm của đýờng
conic S biết:
•
Năm điểm thuộc S
•
Bốn điểm thuộc S và tiếp tuyến tại một
trong các điểm ấy thuộc S.
•
Ba điểm thuộc S và 2 tiếp tuyến tại 2 trong
3 điểm đó.
Phát biểu bài toán đối ngẫu và giải bài toán
đó
BÀI 36

A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
Q PR
d
Giả sử 5 điểm A
1
,A
2
,A
3
,A
4
,A
5
của(S)
Ta cần dựng thêm A
6
(S)
Câu a:
Bài Làm

Cách dựng:
•
B1:Dựng điểm
P =A
1
A
2
x A
4
A
5
•
B2:Qua P dựng
đường thẳng d bất kỳ
•
B3:Dựng Q = d x A
2
A
3


và R = d x A
3
A
4
•
B4:Dựng A
6
= A
5
Q x
A
3
R là điểm cần dựng
A
4
A
1
A
2
A
3
A
5
A
6
Q
P
R
d

Chứng minh
•
Xét lục giác tạo bởi
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6

•
P =A
1
A
2
x A
4
A
5
•
Q = A
2
A
3
x A
5
A
6
•
R = A
3
A
4
xA
6
A
1
•
Do P, Q, R thẳng hàng nên
theo định lý Pascal lục giác
này nội tiêp 1 conic (S’) nào đó
•
Mà qua 5 điểm A
1
,A
2
,A
3
,A
4
,A
5

có duy nhất một đường conic
(S) nên (S’) trùng (S)
•
Suy ra A
6
thuộc (S)
A
4
A
1
A
2
A
3
A
5
A
6
Q
PR
d
Tui
Đây
Q Đây P Đây
Conic S’
(S’) trùng (S)

a
1

Giải bài toán đối
ngẫu:
Giả sử (S) có 5 tiếp tuyến
a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
,.
Ta cần dựng thêm tiếp
tuyến a
6
của (S)
Bài toán đối ngẫu: Hãy dựng thêm một số tiếp tuyến của
đường bậc 2 (S) biết 5 tiếp tuyến thuộc (S)
a
2
a
5
a
4
a
3
a
6
d
1
d
2

Cách dựng
B1:Dựng d =(a
1
x a
2
, a
4
x a
5
)
B2:Trên d lấy điểm O bất kỳ
B3:Dựng d
1
= (O, a
2
x a
3
)
d
2
= (O, a
3
x a
4
)
B4: Khi đó đường thẳng
a
6
= (a
1
x d
2
, a
5
x d
1
) là đường
thẳng cần tìm
a
d
O
a
1
a
2
a
5
a
4
a
3
a
6
d
1
d
2
a1x a2
a4x a5
a2x a3
a3x a4
a1x d2
a5x d1

Chứng minh
•
Xét lục giác tạo bởi a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6

•
d qua (a
1
x a
2
, a
4
x a
5
)
d
1
qua (a
2
x a
3
,a
5
x a
6
)
d
2
qua (a
3
x a
4
,a
6
x a
1
)
•
Do d , d
1
, d
2
đồng quy nên theo định
lý Briăngsông lục giác này ngoại tiếp
1 conic (S’) nào đó
•
Mà qua 5 đường thẳng a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6

có duy nhất một đường conic (S) nên
(S’) trùng (S)
•
Suy ra a
6
thuộc (S)
O
a
d
O
a
1
a
2
a
5
a
4
a
3
a
6
d
2

Câu b
•
Giả sử A,B,C,D thuộc conic (S) và
tiếp tuyến a đi qua A
•
Ta cần dựng E thuộc (S)
A
A
D
C
B
E
P
a
d
Q
R

Cách dựng
B3: Dựng Q = d x AB , R = d x BC
A
D
C
B
E
P
a
d
Q
R
B1: Dựng P = a x CD
B2: Qua P dựng đường thẳng d bất kỳ
B4: Khi đó E = AR x DQ là điểm cần dựng
Dựng P = a x CD
Dựng d bất kỳ
qua P
Dựng Q = d x
AB
Dựng R = d x BC
Dựng E = AR x DQ

Chứng minh:
•
Xét lục giác tạo bởi AABCDE có :
•
P = a x CD = AAxCD
•
Q = AB x DE
•
R = BC x EA
•
Do P, Q, R thẳng hàng nên theo định lý Pascal lục giác này
nội tiêp 1 conic (S’) nào đó
•
Mà qua 4 điểm A,B,C,D và 1 đường thẳng a đi qua A có duy
nhất một đường conic (S) nên
•
(S’) trùng (S) suy ra E thuộc (S)
A
A
D
C
B
E
P
a
d
Q
R
P = a x CD
= AAxCD
Q = AB x DE

R = BC x EA

Bài toán đối ngẫu
•
Hãy dựng thêm một số tiếp tuyến của
đường bậc 2 (S) biết 4 tiếp tuyến của (S) và
1 tiếp điểm
•
Giải bài toán đối
ngẫu: giả sử ta
dựng được 4 tiếp
tuyến a,b,c,d và M
là tiếp điểm của a.
Ta cần dựng tiếp
tuyến e của (S)
b
c
d
p
O
q
a
M
e
r

Cách dựng
•
B1:Dựng p qua
(M, c x d)
•
B2:Trên p lấy
điểm O bất kỳ
•
B3:Dựng
q qua (O,a x b)
r qua (O, b x c)
•
Khi đó
e = (a x r, d x q)
là tiếp tuyến
cần dựng
b
c
d
p
O
q
a
M
e
r
p qua M, cxd
c x d

Chứng minh
•
Xét lục giác tạo bởi 6 cạnh aabcde
có :
p qua (M, c x d) (M=axa)
q qua (axb,exd)
r qua (bxc,axe)
•
Do p, q, r đồng quy tại O nên theo
định lý Briăngsông truờng hợp ngũ
giắc thì ngũ giác này nội tiêp 1
conic (S’) nào đó
•
Mà qua 4 đường thẳng a,b,c,d và
1tiếp điểm M của a có duy nhất
một đường conic (S) nên
•
(S’) trùng (S) suy ra e là tiếp
tuyến của (S)
b
c
d
p
O
q
a
M
e
r

Xem chi tiết: Hình học xạ ảnh 36